麦穗理论

　　有一天，柏拉图问老师苏个拉底什么是爱情?老师就让他先到麦田里去，摘一颗全麦田里最大最金黄的麦穗来。期间只能摘一次，并且期间只能向前走，不能回头。
　　柏拉图于是按照老师说的去做了，结果他两手空空的走出了田地。老师问他为什么摘不到？
　　他说：“因为只能摘一次，又不能走回头路，期间即使见到最大最金黄的，因为不知前面是否有更好的，所以没有摘。走到前面时，又发觉总不及之前见到的好，原来最大最金黄的麦穗早已错过了。于是我什么也没有摘！”
　　老师说：这就是“爱情”。

　　之后有一天柏拉图问他的老师什么是婚姻？老师就叫他先到树林里，砍下一颗全树林里最大最茂盛的，最适合放在家做圣诞树的树。期间同样只能砍一次，以及同样只能向前走，不能回头。
　　于是柏拉图又照着老师的话去做。今次，他带了一颗普普通通，不是很茂盛，也不算太差的树回来。老师问他：怎么带这颗这么普通的树回来？他说：“有了上一次的经验，当我走到大半路程还两手空空时，看到这颗树也不太差，便砍了下来，免得错过了后，最后有什么也带不回来。”
　　老师说：“这就是婚姻！”

数学求解

从数学角度讨论这一问题：

假设整个麦田的长度为 n 米，我们采用的策略是：前 k 米，记住最大的麦穗为 M，然后从 k+1 米开始，只要出现大于 M 的麦穗就选择，否则不选择。（因为麦穗并不连续，所以这里没有用连续的长度，从 k 米后开始）

假设最大的麦穗在第 $i$ 米，如果想让我们挑选到，那就需要满足

$$k<i \leq n$$

不仅仅需要最大的麦穗出现在 k 后面，还需要满足，前 $i-1$ 米中最好的麦穗出现在前 k 米，这有$k/(i-1)$种可能。考虑所有可能的 $i$ 我们得到一个能选中最大麦穗概率的总概率 $P(k)$

$$P(k)=\sum_{i=k+1}^{n} \frac{1}{n} \frac{k}{i-1}=\frac{k}{n} \sum_{i=k}^{n-1} \frac{1}{i}\approx \frac{k}{n} \int_{k}^{n} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$$

令 $x=k/n$，假设 $n$ 远大于 $k$，原式改写为

$$P(k)=\frac{k}{n}(\ln (n)-\ln (k))=\frac{k}{n} \ln \left(\frac{n}{k}\right)=-x\ln(x)$$

对 $-x \ln (x)$求导，求极值

$$x=\frac{1}{e}$$

即：

$$k=\frac{n}{e}$$

如果你想摘取最大的麦穗，假设麦田长度为 n 米，应该先将前 n/e 米内的麦穗作为参考，然后在 k+1 米后开始选择比前面 k 米中最大的麦穗即可。

e = 2.718281828459，1/e = 0.36787944117144